PENDUGAAN INTERVAL (ESTIMASI)

PENDUGAAN INTERVAL (ESTIMASI) 

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK RATA-RATA

Untuk membuat pendugaan interval, harus ditentukan terlebih dahulu besarnya tingkat keyakinan, yang diberi simbol 1 - α . Umumnya, tingkat kepervayaan yang digunakan adalah 90%, 95%, dan 99%.

Berdasarkan Dalil Batas Memusat, pernyataan probabilitas dapat dituliskan sebagai berikut.

Misalkan   adalah   batas   bawah   dan  adalah batas atas.

Persamaan  yang menyatakan bahwa interval a - b memuat rata-rata μ.

Misalnya, batas bawahnya diberikan 2,5 dan batas atasnya 3,5 dengan 1 - a = 90%. Maka 

Menunjukkan adanya probabilitas sebesar 90% bahwa pada interval 2,5 dan 3,5 akan memuat nilai rata-rata populasi yang sebenarnya yaitu μ.Kesalahan yang mungkin terjadi, probabilitasnya adalah 10%. Artinya, kemungkinan interval tersebut tidak memuat μ, artinya μ bisa lebih kecil dari 2,5 atau lebih besar dari 3,5. Penyusunan interval keyakinan ditentukan oleh bentuk distribusi sampling dan diketahui atau tidaknya standar deviasi populasi σ.Ada tiga rumus pendugaan interval rata-rata μ .Pertama,  Rumus ini berlaku jika sampel besar (η ≥ 30) dari populasi yang tak terbatas atau dari populasi terbatas, tetapi penarikan sampel dilakukan dengan pengembalian.Kedua, Rumus ini digunakan kalau populasi terbatas, akan tetapi sampel sebanyak η diambil tanpa pengembalian dari populasi dengan N  elemen dan σ diketahui.Ketiga, dengan Rumus ini berlaku bagi sampel kecil (n ≤ 30) yang diambil dari populasi (σ tak diketahui) dengan pengembalian. Rumus ini pada dasarnya diperoleh dari rumus pertama dengan mengganti σ dengan ѕ dan mengganti dengan . Nilai dari diperoleh dari tabel normal dan nilai diperoleh dari tabel t dengan derajat kebebasan sebesar ( n - 1).Keterangan. X = rata-rata sampelσ = standar deviasi sampelμ = rata-rata populasin = banyaknya sampelN = banyaknya populasis = penduga σ
Untuk mengetahui distribusi mana yang akan digunakan bagi pendugaan interval, perhatikan skema 1. 

CONTOH.Seratus orang calon mahasiswa Akademi Ilmu Statistik sebagai sampel acak, yang sudah mengikuti tes IQ, mempunyai rata-rata IQ sebesar 110 dan diketahui mempunyai deviasi standar sebesar 20. Dengan menggunakan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval dari rata-rata IQ. Penyelesaian. Diketahui :X = 110σ = 20n = 1001 - α = 95%

Pertama-tama, dihitung nilai dari dari Tabel 1 yang ada pada Lampiran 1.  sehingga diperoleh = 1,96. Selanjutnya dipilih rumus yang mana akan digunakan. Rumus yang digunakan adalah rumus pertama karena σ diketahui. sehingga diperoleh 

Jadi, interval antara 106.08 dan 113.92 akan memuat rata-rata IQ sebenarnya dengan tingkat keyakinan 95%.

PENDUGAAN INTERVAL UNTUK DUA RATA-RATA

Misalkan  ̅X1 dan  ̅X2 adalah dua rata-rata sampel dari dua populasi dengan distribusi sampling masing-masing mendekati distribusi normal, maka pendugaan interval selisih ratarata dua populasi yang merupakan sumber pengambilan sampel, dirumuskan sebagai berikut.

dengan

Jika n ≥ 30, serta σ1 dan σ2 diketahui.

Jika n < 30, serta σ1 dan σ2 tidak diketahui, maka rumus yang digunakan adalah sebagai berikut.

dengan

Keterangan.

μ1 = rata-rata populasi 1     

μ2 = rata-rata populasi 2     

n1 = banyaknya sampel 1     

n2 = banyaknya sampel 2 

X1 = rata-rata sampel 1 

X2 = rata-rata sampel 2     

σ1 = standar deviasi sampel 1

σ2 = standar deviasi sampel 2

s1/2 = varians sampel 1

s2/2 = varians sampel 2

Xi1 = data ke i dari sampel 1

Xi2 = data ke i dari sampel 2

CONTOH.

Lampu pijar merek ampuh memiliki rata-rata daya tahan 4500 jam dengan deviasi standar 500 jam, sedangkan lampu pijar merek baik memiliki rata-rata daya tahan 4000 jam dengan deviasi standar 400 jam. Jika diambil sampel masing-masing 100 buah lampu pijar dan diteliti, buatlah pendugaan interval untuk selisih rata-rata daya tahan dari kedua lampu pijar tersebut dengan tingkat keyakinan 90%. 

Penyelesaian. 

Misalkan  

1 = lampu pijar merk ampuh 

2 = lampu pijar mek baik 

maka diketahui 

X1 = 4500, σ1 = 500

X2 = 4000, σ2 = 400

n1=n2=100

1 - α = 90%

Karena nilai σ1 dan σ2 diketahui, serta sampel berukuran besar maka rumus yang digunakan untuk menduga selisih rata-rata daya tahan dari kedua lampu pijar adalah sebagai berikut. 

Pertama-tama dihitung terlebih dahulu nilai dari dengan menggunakan tabel pada 

Lampiran 1. sehingga diperoleh  Selanjutnya, dihitung nilai dari σ(X1-X2), sehingga diperoleh 

 

Selanjutnya, dihitung pendugaan intervalnya. 

Jadi, interval antara 349.669 dan 605.331 akan memuat selisih rata-rata daya tahan dari kedua lampu pijar merk baik dan ampuh dengan tingkat keyakinan 90%.